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♦ Abikurs Mathe - Analytische Geometrie ♦

<< 13 - Schnitt Gerade - Ebene >>

Schnitt Gerade - Ebene, wenn beide in Parameterform vorliegen

Schneidet eine Gerade eine Ebene, so nennt man den Schnittpunkt auch den Durchstoßpunkt. Liegen Gerade und Ebene in Parameterform vor, so bestimmt man den Schnittpunkt wie folgt:

  • Gleichsetzen der Parametergleichungen liefert ein lineares Gleichungssystem (LGS).
  • Lösen des LGS liefert einen Widerspruch, genau eine oder unendlich viele Lösungen.
  • Interpretation der Lösung des LGS liefert das Ergebnis

Interpretation der Lösung des LGS
  • Widerspruch
    Es gibt keinen Schnittpunkt, d.h. die Gerade verläuft parallel zur Ebene.
     
  • Genau eine Lösung
    Es gibt genau einen Schnittpunkt.
     
  • Unendlich viele Lösungen
    Die Gerade liegt vollständig in der Ebene.

Rechenbeispiel 1

Gegeben seien die Gerade g und die Ebene E mit

Bestimmen Sie den Schnittpunkt von g mit E.

Lösung

Gleichsetzen der Parameterformen liefert

Wir bringen alle Vektoren mit Parameter auf die rechte Seite und alle Vektoren ohne Parameter auf die linke Seite:

Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:

Mit dem GTR erhalten Sie die Lösung s=1, t=1 und r=-2. Einsetzen von r=-2 in g liefert nun den Schnittpunkt:

Rechenbeispiel 2

Gegeben seien die Gerade g und die Ebene E mit

Bestimmen Sie den Schnittpunkt von g mit E.

Lösung

Gleichsetzen der Parameterformen liefert

Wieder bringen wir alle Vektoren mit Parameter auf die rechte und alle Vektoren ohne Parameter auf die linke Seite:

Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:

Wenn Sie dieses LGS mit dem GTR lösen, erhalten Sie einen Widerspruch! Das bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt von g mit E gibt.

Ergebnis: Die Gerade g verläuft parallel zur Ebene E.

Parameter- und Koordinatenform

Falls die Gerade in Parameterform und die Ebene in Koordinatenform vorliegt, so setzt man die Gerade in die Ebene ein, bestimmt den Parameter und damit den Schnittpunkt. Wie das genau vor sich geht zeigt das nachfolgende Rechenbeispiel.

Rechenbeispiel 3
Gegeben sei die Gerade und die Ebene E: -4x1+3x2=1.
Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von g mit E.

Lösung

Durch Einsetzen von g in E bestimmen wir den Schnittpunkt S. Wie macht man das? Wenn Sie sich die Geradengleichung einmal koordinatenweise betrachten, sehen Sie x1=1-4t, x2=10+3t und x3=1. Dies setzen Sie nun für x1, x2 und x3 in die Ebenengleichung ein und erhalten eine Gleichung, in der nur noch der Parameter t vorkommt. Sie lösen die Gleichung nach dem Parameter auf und erhalten einen konkreten Wert, so wie hier:

-4(1-4t)+3(10+3t)=1 ⇒ 25t=-25 ⇒ t=-1

Einsetzen in g liefert .

Ergebnis: Der Schnittpunkt von g mit E ist S(5|7|1).

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